# 集合系の定義 集合の集合、つまり元が全て集合となる集合 ## 例 - $\{\{1,2\}, \{2, 3\}\}$ # 集合系の和集合・共通部分 - 集合系の和集合: 集合系に含まれるすべての集合の要素を全部まとめて重複なく集めたもの - 集合系の共通部分: 集合系に含まれる全ての集合に共通して入っている要素を集めたもの ## 和集合の定義 １つの集合系$\mathfrak{A}$が与えられたとする $\mathfrak{A}$に属する少なくとも1つの集合の元になっているもの全体の作る集合を、「$\mathfrak{A}$に属する全ての集合の和集合」あるいは「集合系$\mathfrak{A}$の和集合」といい、$\bigcup \mathfrak{A}$または$\bigcup_{A \in \mathfrak{A}} A$と表記する 厳密には、以下のように定義される $ \bigcup \mathfrak{A} = \{ x | \exists A \in \mathfrak{A} (x \in A) \} $ ## 共通部分の定義 $\mathfrak{A}$に属する全ての集合に共通な元全体の集合を、「$\mathfrak{A}$に属する全ての集合の共通部分」あるいは「集合系$\mathfrak{A}$の共通部分」といい、$\bigcap \mathfrak{A}$または$\bigcap_{A \in \mathfrak{A}} A$と表記する 厳密には、以下のように定義される $ \bigcap \mathfrak{A} = \{ x | \forall A \in \mathfrak{A} (x \in A) \} $ ## 例 $\mathfrak{A} = \{\{1,2\}, \{2, 3\}\}$のとき、$\bigcup \mathfrak{A} = \{1, 2, 3\}$, $\bigcap \mathfrak{A} = \{ 2 \}$