# 定義 $X$を[[全体集合|普遍集合]]、$A$を任意の部分集合とするとき、 $ \chi_A(x) = \{1 ~(x \in A), 0~(x \in A^c) $ によって定められる$X \rightarrow \{0, 1\}$への[[写像]]$\chi_A$を、「$X$における$A$の**特徴関数**」または**定義関数**という。 # 部分集合と特徴関数は内容的に同じ - $A$と$\chi_A$は本質的に同じ情報を表現していると捉えられる - $f: X \rightarrow \{0, 1\}$、$f^{-1}(1) = A$とおけば、$\chi_A = f$ - $X$の1つの部分集合$A \subset X$を定めることは、$X \rightarrow \{ 0, 1\}$の1つの写像$\chi_A$を定めることと同じ もう少し厳密に示すと… - $A \in \mathfrak{P}(X)$に$\chi_A \in \mathfrak{F}(X, \{ 0, 1\})$を対応させる写像$\phi$は全単射になる - 全単射=一対一対応なので、同じといえる - 全射: $\forall \chi_A \in \mathfrak{F}(X, \{ 0, 1\}): \phi^{-1}(\chi_A) \neq 空集合$ - 全ての特徴関数について、それに対応する集合が1つ以上存在する - 単射: $\forall A, B \in \mathfrak{P}(X): \phi(A) \neq \phi(B)$ - 異なる2つの$X$の[[冪集合]]の要素について、その特徴関数は異なる