# 定義 [[写像]] $f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow C$を考える。$\phi: A \rightarrow C = g(f(a))$を$f, g$の **合成写像** または **積** という。 $g \circ f$で表す 合成写像$\phi$は$f$の終集合と$g$の始集合（定義域）が一致するときに限って定義されることに注意 # 諸定理 ## 全射・単射・全単射 $f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow C$とするとき、$f, g$がともに[[全射・単射・全単射|全射]]ならば$g \circ f: A \rightarrow C$も全射である。[[全射・単射・全単射|単射]]、[[全射・単射・全単射|全単射]]についても同様。 ## 結合律 - $h \circ g \circ f = h \circ (g \circ f)$が成り立つ - 任意の$f: A \rightarrow B$について、[[恒等写像]]との関係は以下のようになる。 - $f \circ I_A = f$ - $I_B \circ f = f$ - $f$を$A \rightarrow B$の[[全射・単射・全単射#全単射|全単射]]とすれば、以下が成り立つ - $f^{-1} \circ f = I_A$ - $f \circ f^{-1} = I_B$ (写像の合成について、交換律は成り立たないことに注意。$g \circ f$が定義されても逆が定義されるとは限らないし、されたとしても一般に等しくない。)