# 定義 $A$から$B$への[[対応]]は、以下の条件を満たす場合$A$から$B$への**写像**と呼ばれる。$f$等の記号で表す。 - 任意の$a \in A$に対して、$\Gamma(a)$は$B$のだた一つの元からなる集合である - （ただ一つの元=空集合ではないことに注意） - 「$A$から$B$の**中への写像**」ということもある **注意** $\Gamma$の定義域が$A$となっている必要がある # 定値写像 $B$の元$b_0$を一つ決めて、$\forall a \in A: \phi(a) = b_0$と定めたとき、$\phi$は **[[定値写像]]** と呼ばれる - どんな$a \in A$を突っ込んでも、同じ値が返ってくる # 恒等関数 $A$を任意の集合とするとき、$\forall a \in A: I_A(a) = a$と定義される写像$I_A$のことを **[[恒等関数]]** という # 写像のグラフ ## 定理 $A \times B$の部分集合$G$が、ある写像$f: A \rightarrow B$のグラフ$G(f)$となるためには、$G$が以下の条件を満たすことが必要十分である。 - $A$の任意の元$a$に対して、$(a, b) \in G$となるような$B$の元$b$がただ一つ存在する # 写像による像・原像 写像$f: A \rightarrow B$について、$P$を$A$の任意の部分集合とするとき、以下を$f$による$P$の[[像]]という $ f(P) = \{ b ~|~ \exists a \in P ~(f(a)=b) \} $ - $f(P) \subset B$となる また、$Q$を$B$の任意の部分集合とするとき、以下をfによる$Q$の[[原像]]または[[原像|逆像]]という $ f^{-1}(Q) = \{ a ~|~ f(a) \in Q \} $ - $f^{-1}(Q) \subset A$となる ## 像・原像にまつわる諸定理 $f: A \rightarrow B$とする。また $P, P_1, P_2 \subset A$、$Q, Q_1, Q_2 \subset B$とするとき、以下が成り立つ。 1. $P_1 \subset P_2 \Rightarrow f(P_1) \subset f(P_2)$ 2. $f(P_1 \cup P_2) = f(P_1) \cup f(P_2)$ 3. $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ 4. $f(A-P) \supset f(A) - f(P)$ 5. $Q_1 \subset Q_2 \Rightarrow f^{-1}(Q_1) \subset f^{-1}(Q_2)$ 6. $f^{-1}(Q_1 \cup Q_2) = f^{-1}(Q_1) \cup f^{-1}(Q_2)$ 7. $f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) = f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$ 8. $f^{-1}(B-Q) = A-f^{-1}(Q)$ 9. $f^{-1}(f(P)) \supset P$ 10. $f(f^{-1}(Q)) \subset Q$