# 全射 一般に、[[写像]]の定義域は始集合と一致するが、値域は終集合と一致しない。 [[写像]]$f: A \rightarrow B$が以下の条件を満たす場合、**全射**であるという。「$A$から$B$の**上への写像**」ともいう。 $ f(A) = B $ 写像が全射である場合、$\forall b \in B: f^{-1}(b) \neq \phi$、すなわち$f(a) = b$となるような$a \in A$が少なくとも1つ存在することとなる。 # 単射 [[写像]] $f: A \rightarrow B$について以下が成り立つとき、**単射**であるという。「$A$から$B$への**1対1の写像**」ともいわれる。 $ \forall a, a' \in A: a \neq a' \Rightarrow f(a) \neq f(a') $ 関数が単射の場合、$\forall b \in V(f): |f^{-1}(b)| = 1$となる。 # 全単射 写像が全射かつ単射であるとき、**全単射**という。 ## 逆写像の定理 写像$f: A \rightarrow B$の[[逆対応]]$f^{-1}: B \rightarrow A$が写像となるための必要十分条件は、$f$が$A$から$B$への全単射であることである。$f^{-1}$は **[[逆写像]]** と呼ばれる。またそのとき、$f^{-1}$は$B$から$A$への全単射となる。 ### 証明 必要十分条件: $f^{-1}$が写像であることは、[[写像]]の定義から$\forall b \in B: |f^{-1}(b)| = 1$を意味する。これは明らかに全単射。 逆写像が全単射: $f: A \rightarrow B$を全単射とする。そのとき$f^{-1}$は写像となる（前行より）。その逆対応$(f^{-1})^{-1} = f$が写像であるから、前行の関係を逆にすれば$f^{-1}$も全単射とわかる。